こんばんは。
この場合、ブラウザーや動画再生ソフトにある全画面モードより動画再生ソフトにもある最前面モードを用意するのが妥当かもしれません。そうすれば、最大化しておけばたいていの通知ポップアップは表に出てこなくなります。ただし一部のセキュリティーソフトはそういった最前面ウインドウを無視してポップアップしてくるのもありますが。
ただ音楽再生ソフトに最前面機能は不似合な気がします。常駐ソフトに最前面機能を付加するものがいくつかありますのでそういったソフトを利用するのも手です。
またセキュリティーソフト側でもポップアップを抑制し、通知領域のアイコンの変化のみとする設定もあるかもしれません。