すこし状況が(良いことと、悪いことと)変わりました。
良いことは、わたしの環境ではストアに対して以下の設定を行うことで問題を回避することができるようになりました。
Microsoft Storeアプリを起動し、右上の「・・・」から「設定」を選択、「購入のサインイン」を「オン」にします。
これをオンにすると、その場でサインインが求められ、その後TuneBrowserでアプリ内購入の機能を起動すると、問題なく動作するようになります。ただし、その後は他のアプリでもサインインを求められなくなりますので、それが気になる方は、あとでこの設定を元に戻しておいてください。
悪いことは、この件でマイクロソフトと見解が合わず、UWP版の更新が止まってしまっています。マイクロソフトはTuneBrowserの問題だと言っているのですが、わたしからは(処理を確認した後)上記の設定で回避できることもあり、WindowsのおそらくFall Creators Update以降の問題ではないかと申し入れしています。
先方の連絡待ちですが、何らかの結論に至るまでには、ひょっとしたら時間がかかるかもしれません。最悪の場合、TuneBrowserからのアプリ内購入機能を削除することも検討します。