こんばんは。
マイクロソフトストアの挙動ですので、すみませんがこちらでは詳しいことがわからないのですが、「インストール時はmicrosoftアカウントにログインした状態を確認しています」とのこと、実行時は購入された際のマイクロソフトアカウントをご利用ではないのでしょうか?
TuneBrowserは実行時にアカウントを確認しています。実行時のアカウントをあわせて、しばらく待ってみてはいかがでしょうか。
なおマイクロソフトストアのライセンスは、マイクロソフトの規定により最大10台のWindowsデバイスにインストールすることができます。